matematyka dyskretna

 A-LEVEL FURTHER MATHEMATICS ★ DISCRETE & DECISION MATHEMATICS ★ IB AA/AI HL/SL ★ MATEMATYKA DYSKRETNA ★

Matematyka zaczyna być naprawdę interesująca wtedy, gdy przestaje polegać wyłącznie na podstawianiu liczb do wzorów.

Grafy, sieci, algorytmy, teoria gier, kombinatoryka, programowanie liniowe, optymalizacja, teoria liczb — właśnie tutaj matematyka zaczyna przypominać sposób myślenia wykorzystywany w informatyce, ekonomii, sztucznej inteligencji, kryptografii i badaniach operacyjnych.

Zapraszam na indywidualne korepetycje online z A-Level Further Mathematics, Discrete Mathematics, Decision Mathematics oraz zagadnień matematyki dyskretnej występujących w programach IB Mathematics: Analysis and Approaches (AA) oraz Applications and Interpretation (AI), HL i SL.

Prowadzę również matematykę dyskretną i wyższą dla studentów uniwersytetów oraz politechnik.

 DLA KOGO SĄ TE ZAJĘCIA?

Przede wszystkim dla uczniów, którzy realizują:

A-Level / AS-Level MathematicsA-Level / AS-Level Further MathematicsDiscrete MathematicsDecision MathematicsModelling with AlgorithmsIB Mathematics AA HL / SLIB Mathematics AI HL / SL

Zakres zajęć zawsze dostosowuję do konkretnego exam boardu, szkoły i aktualnie realizowanego syllabus.

Pracuję zarówno z uczniami przygotowującymi się do egzaminu, jak i z osobami, które chcą wejść znacznie głębiej w matematykę przed studiami z Mathematics, Computer Science, Engineering, Economics, Finance, Data Science czy Artificial Intelligence.

 DISCRETE MATHEMATICS — MATEMATYKA, KTÓRA UCZY MYŚLENIA

Matematyka dyskretna jest inna od klasycznej matematyki szkolnej.

Tutaj nie wystarczy znać wzór.

Trzeba umieć zbudować strategię rozwiązania, dostrzec strukturę problemu, przeanalizować możliwe przypadki i zdecydować, który sposób jest najbardziej efektywny.

Dlatego ten dział matematyki jest tak wartościowy dla ucznia przygotowującego się do studiów ścisłych. Rozwija dokładnie te umiejętności, których później wymaga informatyka, matematyka, ekonomia, inżynieria i współczesna analiza danych.

Na zajęciach zależy mi przede wszystkim na tym, aby uczeń rozumiał dlaczego algorytm działa, a nie jedynie nauczył się mechanicznie wykonywać jego kolejne kroki.

 PRZYKŁADOWE ZAGADNIENIA — POLSKI + ENGLISH MATHEMATICAL VOCABULARY

TEORIA GRAFÓW — GRAPH THEORY

• graf — graph• wierzchołek — vertex• krawędź — edge• ścieżka — path• marszruta — trail• cykl — cycle• stopień wierzchołka — degree of a vertex• graf spójny — connected graph• podgraf — subgraph• graf prosty — simple graph• graf pełny — complete graph• graf dwudzielny — bipartite graph• graf planarny — planar graph• izomorfizm grafów — graph isomorphism• macierz sąsiedztwa — adjacency matrix

Pracujemy również z:

Eulerian graphs, semi-Eulerian graphs, Hamiltonian graphs, trees, spanning trees, planar graphs oraz problemami optymalizacyjnymi opartymi na grafach.

 SIECI I ALGORYTMY — NETWORKS & ALGORITHMS

To jeden z najbardziej praktycznych fragmentów matematyki dyskretnej.

Analizujemy:

• sieci — networks• węzły — nodes• łuki — arcs• wagi — weights• drzewa rozpinające — spanning trees• minimalne drzewa rozpinające — minimum spanning trees

W zależności od realizowanego programu pracujemy również z algorytmami i problemami typu:

Dijkstra’s AlgorithmPrim’s AlgorithmKruskal’s AlgorithmRoute Inspection Problem / Chinese Postman ProblemTravelling Salesperson Problem — TSP

Uczeń nie tylko wykonuje algorytm, ale uczy się rozumieć, dlaczego prowadzi on do rozwiązania i kiedy wolno go zastosować.

 PRZEPŁYWY W SIECIACH — NETWORK FLOWS

Tutaj matematyka zaczyna bezpośrednio przypominać zagadnienia występujące w informatyce, logistyce i badaniach operacyjnych.

Między innymi:

• sieci skierowane — directed networks• przepływ — flow• przepustowość — capacity• przekrój sieci — cut• maksymalny przepływ — maximum flow• minimalny przekrój — minimum cut• Maximum Flow–Minimum Cut Theorem

Pokazuję uczniowi, jak abstrakcyjny graf może reprezentować realny problem: transport danych, ruch drogowy, logistykę, produkcję albo przepływ zasobów.

 PROGRAMOWANIE LINIOWE — LINEAR PROGRAMMING

• funkcja celu — objective function• ograniczenia — constraints• obszar dopuszczalny — feasible region• maksymalizacja — maximisation• minimalizacja — minimisation• zmienne luzu — slack variables• algorytm simpleks — Simplex Algorithm / Simplex Method• tablica simpleksowa — Simplex Tableau

Nie chodzi tylko o narysowanie kilku prostych. Uczeń powinien zobaczyć, że za takim zadaniem stoi pytanie:

Jak znaleźć najlepszą decyzję, jeśli nasze możliwości są ograniczone?

To jest jedna z podstaw współczesnej optymalizacji.

 CRITICAL PATH ANALYSIS — ANALIZA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ

Bardzo ciekawy dział łączący matematykę z planowaniem projektów i zarządzaniem.

Pracujemy między innymi z:

activity networksprecedence networksearliest start timelatest start timeearliest finish timelatest finish timefloatcritical activitiescritical pathGantt chartsresource levelling

Uczeń zaczyna rozumieć, że matematyka może odpowiedzieć na pytanie, jak zaplanować skomplikowany projekt w możliwie najkrótszym czasie.

 TEORIA GIER — GAME THEORY

Jedna z najbardziej fascynujących części matematyki dyskretnej.

• macierz wypłat — pay-off matrix• strategie czyste — pure strategies• strategie mieszane — mixed strategies• strategie zdominowane — dominated strategies• wartość gry — value of the game• gry o sumie zerowej — zero-sum games• rozwiązania stabilne — stable solutions

Matematyka spotyka się tutaj z ekonomią i teorią podejmowania decyzji.

Uczeń nie pyta już tylko: „jaki jest wynik?”, ale:

„Jaką decyzję powinien podjąć racjonalny uczestnik, jeśli jego wynik zależy również od decyzji przeciwnika?”

 KOMBINATORYKA — COMBINATORICS & COUNTING

• reguła mnożenia — multiplication principle• permutacje — permutations• kombinacje — combinations• problemy zliczania — counting problems• zasada szufladkowa Dirichleta — Pigeonhole Principle• współczynniki dwumianowe — binomial coefficients• twierdzenie dwumianowe — Binomial Theorem• liczby Stirlinga — Stirling numbers

Szczególny nacisk kładę na prawidłowe rozpoznawanie struktury problemu. W kombinatoryce najważniejsze nie jest bowiem wykonanie działania na kalkulatorze, ale odpowiedź na pytanie:

co właściwie liczymy?

 INDUKCJA, REKURENCJA I DOWODY

• indukcja matematyczna — mathematical induction• relacje rekurencyjne — recurrence relations• dowód bezpośredni — direct proof• dowód przez sprzeczność — proof by contradiction• kontrprzykład — counterexample

Uczę nie tylko pisać dowód, ale przede wszystkim rozumieć jego strukturę logiczną.

 TEORIA LICZB — NUMBER THEORY

W zależności od programu oraz poziomu ucznia możemy zajmować się również:

• największym wspólnym dzielnikiem — greatest common divisor, GCD• najmniejszą wspólną wielokrotnością — least common multiple, LCM• algorytmem Euklidesa — Euclidean Algorithm• arytmetyką modularną — modular arithmetic• kongruencjami — congruences• liczbami pierwszymi — prime numbers• Małym Twierdzeniem Fermata — Fermat’s Little Theorem• Twierdzeniem Eulera — Euler’s Theorem

oraz zastosowaniem teorii liczb w:

CRYPTOGRAPHY — KRYPTOGRAFII.

 OPERACJE BINARNE I TEORIA GRUP — BINARY OPERATIONS & GROUP THEORY

Dla uczniów realizujących odpowiednie moduły Further Mathematics oraz studentów:

binary operationsclosureassociativitycommutativityidentity elementinverse elementCayley tablesgroups and subgroupscyclic groupsAbelian groupsgroup isomorphismLagrange’s Theorem

To świetne przygotowanie do matematyki uniwersyteckiej, gdzie coraz mniej liczy się mechaniczne rachowanie, a coraz bardziej rozumienie abstrakcyjnych struktur.

 IB MATHEMATICS AA / AI

Prowadzę również uczniów realizujących:

IB Mathematics: Analysis and Approaches — AA HL / SLIB Mathematics: Applications and Interpretation — AI HL / SL

W szczególności mogę pomóc w zagadnieniach związanych z matematycznym modelowaniem, teorią grafów, algorytmami sieciowymi i Voronoi diagrams, a także w rozwijaniu sposobu rozumowania potrzebnego do trudniejszych zadań IB.

IB wymaga czegoś więcej niż znajomości procedury. Uczeń musi umieć połączyć kilka idei, prawidłowo zinterpretować sytuację i zapisać rozwiązanie w sposób matematycznie precyzyjny.

I właśnie nad tym pracujemy.

★ NIE UCZĘ „SCHEMATÓW”. UCZĘ BUDOWANIA ROZWIĄZANIA.

W matematyce dyskretnej jedna drobna zmiana w treści zadania potrafi sprawić, że wyuczony wcześniej schemat przestaje działać.

Dlatego podczas zajęć często pytam:

Dlaczego?Skąd to wynika?Czy istnieje inny sposób?Czy rozwiązanie zawsze działa?Co się stanie, jeśli zmienimy założenie?

Chcę, aby uczeń stopniowo przestawał czekać na podpowiedź i zaczynał samodzielnie konstruować rozwiązanie.

To właśnie taki sposób myślenia jest później potrzebny na studiach matematycznych, informatycznych, ekonomicznych i technicznych.

★ PRACA Z PAST PAPERS

Przy przygotowaniu egzaminacyjnym pracujemy również na:

past papers, specimen papers, mark schemes oraz zadaniach w stylu konkretnego exam boardu.

Pokazuję nie tylko jak rozwiązać zadanie, ale również jak rozpoznać, czego examiner rzeczywiście oczekuje od kandydata.

W międzynarodowym systemie edukacji bardzo ważne jest także poprawne posługiwanie się angielskim językiem matematycznym. Dlatego uczeń poznaje równolegle terminologię polską i angielską.

★ ZAJĘCIA ONLINE

Zajęcia odbywają się wyłącznie online przez MS Teams z wykorzystaniem profesjonalnej tablicy wirtualnej oraz tabletu graficznego.

Uczeń obserwuje cały tok rozwiązania w czasie rzeczywistym, może pisać wspólnie ze mną, zadawać pytania i wracać do wykonanych podczas lekcji notatek.

Dzięki temu nie tracimy czasu na przepisywanie gotowych rozwiązań. Możemy skoncentrować się na tym, co najważniejsze:

na matematycznym myśleniu.

Standardowo zajęcia trwają 2 × 45 minut.

★ CENA

225 zł / 45 minut

Cena dotyczy zajęć na poziomie: A-Level / AS-LevelFurther MathematicsDiscrete MathematicsDecision MathematicsIB Mathematics AA / AI HL/SLmatematyki wyższej i matematyki dyskretnej dla studentów

★ DOŚWIADCZENIE

Posiadam wieloletnie doświadczenie w indywidualnym nauczaniu matematyki na różnych poziomach zaawansowania — od szkoły średniej i programów międzynarodowych aż po matematykę akademicką.

Studia wyższe ukończyłem z wyróżnieniem.

Pracuję z uczniami o bardzo różnych profilach: od osób, które potrzebują uporządkować podstawy, aż po bardzo ambitnych uczniów przygotowujących się do wymagających egzaminów i studiów ścisłych.

Tempo oraz poziom abstrakcji zawsze dostosowuję do konkretnej osoby.

Bo dobry nauczyciel matematyki nie powinien jedynie pokazywać rozwiązania.

Powinien doprowadzić ucznia do momentu, w którym uczeń zaczyna dostrzegać rozwiązanie sam.

★ MATEMATYKA DYSKRETNA TO JĘZYK WSPÓŁCZESNEGO ŚWIATA

Za wyszukiwarkami internetowymi stoją grafy.

Za nawigacją — algorytmy.

Za logistyką — optymalizacja.

Za kryptografią — teoria liczb.

Za zarządzaniem projektami — sieci i ścieżki krytyczne.

Za strategicznymi decyzjami — teoria gier.

Dlatego Discrete Mathematics jest czymś znacznie więcej niż kolejnym działem programu Further Mathematics.

To szkoła logicznego, algorytmicznego i strategicznego myślenia.

A w świecie, w którym coraz więcej prostych obliczeń może wykonywać za człowieka komputer lub AI, właśnie umiejętność zbudowania modelu, postawienia właściwego pytania i znalezienia metody rozwiązania problemu staje się coraz cenniejsza.

Jeżeli uczeń realizuje A-Level Further Mathematics, Discrete Mathematics, Decision Mathematics, IB AA/AI albo matematykę dyskretną na studiach — zapraszam do kontaktu.

Nie warto czekać do końca semestru. Liczba stałych terminów jest ograniczona, a najbardziej poszukiwane godziny zapełniają się jako pierwsze.