analiza matematyczna

Analiza Matematyczna 1, 2, 3 — Kluczowe Zagadnienia

C! Oferuję korepetycje z analizy matematycznej na poziomie studiów wyższych. Chętnie pomogę w opanowaniu poniższych zagadnień z AM1, AM2 oraz AM3 — zarówno w ramach przygotowania do egzaminu, jak i bieżącego nadrabiania materiału.

📘 Analiza Matematyczna 1

• Granica ciągu, własności granic
• Ciągi monotoniczne i ograniczone
• Liczba Eulera e
• Szeregi liczbowe — zbieżność, kryteria (d'Alemberta, Cauchy'ego, całkowe, Leibniza)
• Szeregi bezwzględnie i warunkowo zbieżne

Granice funkcji i ciągłość

• Definicja granicy (Heinego, Cauchy'ego)
• Granice jednostronne
• Symbole nieoznaczone, reguła de l'Hôpitala
• Ciągłość funkcji, rodzaje nieciągłości
• Twierdzenie Darboux, twierdzenie Weierstrassa

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

• Pochodna — definicja, interpretacja geometryczna i fizyczna
• Reguły różniczkowania, pochodna funkcji złożonej i odwrotnej
• Pochodne wyższych rzędów
• Różniczka funkcji
• Twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego
• Wzór Taylora i Maclaurina
• Ekstrema lokalne i globalne, wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia
• Asymptoty, badanie przebiegu zmienności funkcji

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

• Całka nieoznaczona — definicja, własności
• Podstawowe metody: przez części, przez podstawienie
• Całkowanie funkcji wymiernych (rozkład na ułamki proste)
• Całkowanie funkcji trygonometrycznych i niewymiernych
• Całka oznaczona Riemanna — definicja, własności
• Twierdzenie Newtona–Leibniza
• Całka niewłaściwa (I i II rodzaju), zbieżność

📗 Analiza Matematyczna 2

Szeregi funkcyjne i potęgowe

• Zbieżność punktowa i jednostajna
• Szeregi potęgowe, promień zbieżności
• Szereg Taylora i Maclaurina dla funkcji elementarnych
• Szereg Fouriera — współczynniki, zbieżność, zastosowania

Funkcje wielu zmiennych — podstawy

• Granica i ciągłość funkcji dwóch i więcej zmiennych
• Pochodne cząstkowe i ich interpretacja
• Różniczkowalność, różniczka zupełna
• Pochodna funkcji złożonej (reguła łańcuchowa)
• Pochodna kierunkowa, gradient
• Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie Schwarza

Ekstrema funkcji wielu zmiennych

• Ekstrema lokalne — warunki konieczne i wystarczające
• Hesjan i jego rola
• Ekstrema warunkowe — metoda mnożników Lagrange'a

Całkowanie funkcji wielu zmiennych

• Całka podwójna — definicja, własności, iteracja
• Zamiana kolejności całkowania
• Zamiana zmiennych — współrzędne biegunowe
• Całka potrójna — współrzędne walcowe i sferyczne
• Zastosowania: pole, objętość, środek ciężkości, momenty bezwładności

Funkcje uwikłane i odwzorowania

• Twierdzenie o funkcji uwikłanej
• Twierdzenie o odwzorowaniu odwrotnym
• Jakobian odwzorowania

📕 Analiza Matematyczna 3

Całki krzywoliniowe

• Całka krzywoliniowa I rodzaju (po długości łuku) — definicja, zastosowania
• Całka krzywoliniowa II rodzaju (po współrzędnych) — definicja, zastosowania
• Twierdzenie Greena
• Niezależność całki krzywoliniowej od drogi, potencjał pola

Całki powierzchniowe

• Całka powierzchniowa I rodzaju (po polu powierzchni)
• Całka powierzchniowa II rodzaju (po strumieniu)
• Twierdzenie Stokesa
• Twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego (dywergencji)

Analiza wektorowa

• Pole wektorowe i skalarne
• Gradient, dywergencja, rotacja
• Potencjał pola, pole bezwirowe i solenoidalne
• Równania Maxwella jako zastosowanie

Równania różniczkowe zwyczajne

• Równania I rzędu: o rozdzielonych zmiennych, jednorodne, liniowe, Bernoulliego, zupełne
• Równania II rzędu liniowe z stałymi współczynnikami
• Metoda uzupełnienia szczególnego (przewidywania)
• Metoda wariacji stałych
• Układy równań różniczkowych

Szeregi Fouriera i transformaty

• Szereg Fouriera w postaci zespolonej

• Transformata Fouriera — definicja, własności, odwrotna
• Transformata Laplace'a — definicja, własności, zastosowanie do RRZ
• Splot funkcji