algebra

Cześć! Chętnie pomogę Ci w przygotowaniu do egzaminu z algebry. Poniżej znajdziesz zestawienie najważniejszych zagadnień z Algebry 1 i 2.

📘 Algebra 1

Logika i teoria zbiorów

• Rachunek zdań, kwantyfikatory
• Działania na zbiorach, prawa de Morgana
• Relacje — zwrotność, symetria, przechodniość
• Relacje równoważności i podziały zbiorów
• Relacje porządku

Liczby zespolone

• Definicja, działania algebraiczne
• Postać trygonometryczna i wykładnicza
• Wzór de Moivre'a
• Pierwiastki z liczby zespolonej
• Płaszczyzna zespolona, moduł i argument

Macierze

• Definicja, rodzaje macierzy
• Działania na macierzach (dodawanie, mnożenie, transponowanie)
• Wyznacznik — definicja, własności, rozwinięcie Laplace'a
• Rząd macierzy
• Macierz odwrotna — warunki istnienia, metody wyznaczania

Układy równań liniowych

• Układy jednorodne i niejednorodne
• Twierdzenie Cramera
• Metoda eliminacji Gaussa (i Gaussa–Jordana)
• Twierdzenie Kroneckera–Capellego
• Rozwiązania ogólne i szczególne

Wielomiany

• Działania na wielomianach, dzielenie z resztą
• Twierdzenie Bezouta, pierwiastki wielomianu
• Zasadnicze twierdzenie algebry
• Rozkład wielomianu na czynniki nad ℝ i ℂ
• Wielomiany symetryczne

Przestrzenie liniowe

• Definicja przestrzeni wektorowej, aksjomaty
• Podprzestrzenie liniowe
• Kombinacja liniowa, liniowa niezależność
• Baza i wymiar przestrzeni
• Współrzędne wektora w bazie
• Suma i przecięcie podprzestrzeni

📗 Algebra 2

Odwzorowania liniowe

• Definicja i przykłady
• Jądro i obraz odwzorowania liniowego
• Twierdzenie o wymiarze
• Macierz odwzorowania w danej bazie
• Zmiana bazy — macierz przejścia
• Izomorfizmy przestrzeni liniowych

Wartości i wektory własne

• Definicja wartości i wektorów własnych
• Wielomian charakterystyczny
• Przestrzenie własne
• Diagonalizacja macierzy — warunki konieczne i wystarczające
• Twierdzenie Cayleya–Hamiltona

Formy dwuliniowe i kwadratowe

• Definicja formy dwuliniowej i symetrycznej
• Macierz formy dwuliniowej
• Forma kwadratowa, macierz formy kwadratowej
• Metoda Lagrange'a (sprowadzanie do postaci kanonicznej)
• Metoda Jacobiego (wyznaczniki główne)
• Klasyfikacja form: dodatnio/ujemnie określone, nieokreślone
• Kryterium Sylvestera

Przestrzenie euklidesowe i unitarne

• Iloczyn skalarny — definicja i własności
• Norma, odległość, kąt między wektorami
• Ortogonalność wektorów i podprzestrzeni
• Baza ortonormalna
• Ortogonalizacja Grama–Schmidta
• Dopełnienie ortogonalne

Operatory samosprzężone i normalne

• Operator sprzężony
• Operatory samosprzężone (hermitowskie), symetryczne
• Twierdzenie spektralne
• Diagonalizacja operatorów samosprzężonych
• Operatory unitarne i ortogonalne